Relatividad - Demostración Matemática

Justo como prometí, aquí está la demostración matemática de la relatividad restringida de Einstein, de modo que los lectores más curiosos podrán percatarse que la dilatación del tiempo y el espacio no simplemente se enunció de la noche a la mañana, sino que es el resultado de un laborioso proceso de cálculos físicos y matemáticos. Los conocimientos necesarios para comprender la demostración adecuadamente no van más allá de la física clásica de preparatoria y un poco de álgebra simple.

Imagine que viaja en una nave espacial transparente. Y que dentro de la nave dispara un haz de luz, para usted, la luz seguirá la dirección que se muestra con las flechas. Entonces… Para usted, la velocidad de la luz será igual a la siguiente ecuación:

Donde C es la velocidad de la luz y 2D la distancia que la luz recorrió en un intervalo de tiempo Delta T cero. Sin embargo, si usted está parado fuera de la nave y, supongamos que tiene la capacidad para ver perfectamente el movimiento que esta realiza. Verá al haz de luz de la siguiente manera.

Dado que la trayectoria de la luz, D y L forman un triangulo rectángulo, siendo la trayectoria la hipotenusa, podemos afirmar que la velocidad de la luz será igual a 2 veces esa misma trayectoria (ida y regreso), que es una suma pitagórica, sobre otro intervalo de tiempo que no sabemos si es distinto,  pero que llamaremos Delta T. También podemos afirmar que la velocidad de la nave es:

Dado que L es la distancia horizontal y la nave la recorre al mismo tiempo que la luz hace su recorrido.

Despejando la letra L y elevando al cuadrado obtenemos la siguiente ecuación: 

Si sustituimos la L cuadrada del despeje anterior en la ecuación 2, obtenemos que: 

Elevando ambos extremos al cuadrado y despejando conseguimos llegar a los resultados siguientes: 

Sacamos raiz cuadrada a ambos extremos de la igualdad. 

Ahora hacemos un pequeño paréntesis y recordamos la ecuación 1. 

Sustituimos en la ecuación 9. 

De manera análoga se pueden comprobar las distancias matemáticamente, las formulas resultantes serán

Siendo Delta L la longitud de un objeto siendo observado fuera de la nave y Delta L cero dentro de la nave. Como podemos observar, a medida que V tiende a C, Delta L se va haciendo cada vez más pequeña. 

Donde M es la masa del objeto para alguien fuera del móvil y M cero dentro del móvil. A medida que V tiende a C. M se va haciendo cada vez más grande.